数学期望常用公式总结

数学期望是概率论和统计学中重要的概念之一，它描述了随机变量的平均值或中心位置。在实际应用中，我们常常需要通过各种公式来计算和求解数学期望。本文将总结常用的数学期望公式，并给出实际案例进行说明。

一、离散随机变量的数学期望公式

对于离散随机变量X，其数学期望可以通过以下公式计算：

E(X) = Σ(x * P(x))

其中，x表示随机变量X可能的取值，P(x)表示X取值为x的概率。

举个例子，假设有一个骰子，其六个面分别标有1、2、3、4、5、6。每个面朝上的概率都是均等的。我们可以用上述公式计算这个骰子的期望值：

E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5

因此，这个骰子的数学期望为3.5。

二、连续随机变量的数学期望公式

对于连续随机变量X，其数学期望可以通过以下公式计算：

E(X) = ∫(x * f(x))dx

其中，f(x)表示X的概率密度函数。

考虑一个简单的例子，假设X是取值范围在0到1之间的均匀分布的随机变量。其概率密度函数为：

f(x) = 1，当0 ≤ x ≤ 1

f(x) = 0，其他情况

我们可以用上述公式计算这个随机变量X的期望值：

E(X) = ∫(x * 1)dx，积分上下限为0到1

E(X) = [x^2/2]，积分上下限为0到1

E(X) = 1/2

因此，这个随机变量X的数学期望为1/2。

三、数学期望公式的应用

数学期望公式在很多领域都有广泛的应用。下面以金融投资为例，说明数学期望的实际应用。

假设你在考虑投资某只股票，该股票有三种可能的收益情况：20%的概率获得10%的利润，50%的概率获得5%的利润，30%的概率获得-2%的利润（即亏损2%）。

我们可以利用数学期望计算这个投资的预期收益：

E(X) = (0.2 * 0.1) + (0.5 * 0.05) + (0.3 * (-0.02)) = 0.065

因此，该投资的预期收益为6.5%。

结论

通过本文的总结，我们了解了离散随机变量和连续随机变量的数学期望公式，并在实际应用中给出了案例说明。数学期望作为概率论和统计学中重要的概念，对于数据分析和决策具有重要意义。

总的来说，数学期望的计算需要根据具体的随机变量类型和概率分布函数采用相应的公式，这些公式在实际问题中有着广泛的应用。